Cálculo Exemplos

$y = x$ , $y = x^{3}$ , $x = 0$ , $x = 1$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x = x^{3}$

Etapa 1.2

Resolva $x = x^{3}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$x - x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x - x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x - x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x^{2})$ .

$x (1 - x^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x (1^{2} - x^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$x ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (1 + x) (1 - x) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{3}$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 + x) (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{3}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = {(0)}^{3}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{3}$

Etapa 1.3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = {(- 1)}^{3}$

Etapa 1.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$y = - 1$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{3}$

Etapa 1.5.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = {(1)}^{3}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1^{3}$

Etapa 1.5.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1$

Etapa 1.6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} x - (x^{3}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{3}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{3} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Etapa 3.7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Etapa 3.7.2.2

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.6

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Etapa 3.7.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.9.1

Fatore $4$ de $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Etapa 3.7.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

Etapa 3.7.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

Etapa 3.7.2.3.11

Some $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.3.12

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.3.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.7.2.3.13.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.3.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 1}{4}$

Etapa 3.7.2.3.15

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 4