Cálculo Exemplos

$y = x^{2} \log_{2} (5 - 4 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \log_{2} (5 - 4 x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \log_{2} (5 - 4 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{2} (5 - 4 x)] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = 5 - 4 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\log_{2} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Combine $\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [- 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.6

Combine frações.

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Etapa 3.3.6.1

Combine $- 4$ e $\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \cdot 1 + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) (2 x)$

Etapa 3.3.10

Mova $\log_{2} (- 4 x + 5)$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$

Etapa 3.4

Para escrever $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) \cdot \frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Etapa 3.5

Combine $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ e $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + \frac{2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.3.1.1

Simplifique $2 \log_{2} (- 4 x + 5)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.3.1.2.1

Simplifique $- 4 \ln (2)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (2^{4})) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.2.3

Simplifique $5 \ln (2)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (2^{5}))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.2.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16))) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) x + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) (x \cdot x) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.3.2

Reordene os fatores em $- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ .

$\frac{- 4 x^{2} - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.4

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.6

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}))$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.7

Fatore $- 1$ de $x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.8

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.9

Reescreva $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ como $- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.10

Fatore $- 1$ de $- 4 x \ln (2)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) + 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.11

Fatore $- 1$ de $5 \ln (2)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))}$

Etapa 3.7.12

Fatore $- 1$ de $- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Etapa 3.7.13

Reescreva $- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ como $- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Etapa 3.7.14

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Etapa 3.7.15

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Etapa 3.7.16

Reordene os termos.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$