Cálculo Exemplos

$y = \ln (\tan (x))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\tan (x)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.4

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.5

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reordene os fatores de $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 3.6.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Etapa 3.6.3

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.6.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.6.5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.6.5.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.6.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.6.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 3.6.6

Multiplique $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 3.6.7

Separe as frações.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.6.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Etapa 3.6.9

Separe as frações.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Etapa 3.6.10

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Etapa 3.6.11

Divida $1^{2}$ por $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Etapa 3.6.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Etapa 3.6.13

Multiplique $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \csc (x) \sec (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \sec (x)$