Cálculo Exemplos

$y = \ln (\sqrt{x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.9

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.10.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.11.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Etapa 4.11.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.11.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Etapa 4.11.2

Simplifique $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{2 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$