Cálculo Exemplos

$y = \tan (\cos (x))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (\cos (x)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Reordene os fatores de $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ .

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\sec (\cos (x))$ em termos de senos e cossenos.

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

Etapa 3.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Etapa 3.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Etapa 3.3.5

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

Etapa 3.3.6

Fatore $\cos (\cos (x))$ de $\cos^{2} (\cos (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

Etapa 3.3.7

Separe as frações.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

Etapa 3.3.8

Reescreva $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ como um produto.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Etapa 3.3.9

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Etapa 3.3.10

Simplifique.

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Etapa 3.3.10.1

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Etapa 3.3.10.2

Converta de $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ em $\sec (\cos (x))$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Etapa 3.3.11

Converta de $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ em $\sec (\cos (x))$ .

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Etapa 3.3.12

Multiplique $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

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Etapa 3.3.12.1

Eleve $\sec (\cos (x))$ à potência de $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

Etapa 3.3.12.2

Eleve $\sec (\cos (x))$ à potência de $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

Etapa 3.3.12.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

Etapa 3.3.12.4

Some $1$ e $1$ .

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$