Cálculo Exemplos

$y = \ln (3 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3 x}$ .

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 3.2.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$