Cálculo Exemplos

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.4.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4.4

Combine $5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4.5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.5.4.5.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.4.6

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.4.7

Multiplique $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 3.5.4.7.1

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $- 5$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

Etapa 3.5.4.7.2

Combine $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.4.7.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.4.7.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.4.7.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.4.7.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.6

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.7

Fatore $5$ de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.8

Fatore $5$ de $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.10

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

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Etapa 3.5.10.1

Fatore $\cos (x)$ de $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

Etapa 3.5.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.10.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Etapa 3.5.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Etapa 3.5.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

Etapa 3.5.10.2.4

Divida $5 \cos (x)$ por $1$ .

$5 \cos (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 5 \cos (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$