Cálculo Exemplos

$z = x^{3} e^{x y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{3} e^{x y})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $y$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3} e^{x y}$ em relação a $y$ é $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$x^{3} (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.4.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (e^{x y} \cdot 1)$

Etapa 3.6

Multiplique $e^{x y}$ por $1$ .

$x^{4} e^{x y}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = x^{4} e^{x y}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = x^{4} e^{x y}$