Cálculo Exemplos

$y = 19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (19 z^{2} + \frac{1}{5 z})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [19 z^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $19$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $19 z^{2}$ em relação a $y$ é $19 \frac{d}{d y} [z^{2}]$ .

$19 \frac{d}{d y} [z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = z$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $z$ .

$19 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$19 (2 u \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $z$ .

$19 (2 z \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [z]$ como $z'$ .

$19 (2 z z') + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $19$ .

$38 z z' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{5 z}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = 1$ e $g (y) = z$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [z]$ como $z'$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $z$ por $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - z'}{z^{2}}$

Etapa 3.3.7

Subtraia $z'$ de $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{- z'}{z^{2}}$

Etapa 3.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$38 z z' + \frac{1}{5} (- \frac{z'}{z^{2}})$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{z'}{z^{2}}$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Etapa 5

Resolva $z'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 5 z^{2}, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$5 z^{2}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ por $5 z^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ por $5 z^{2}$ .

$38 z z' (5 z^{2}) - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $z$ por $z^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $z^{2}$ .

$38 (z^{2} z) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $z^{2}$ por $z$ .

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Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$38 (z^{2} z^{1}) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$38 z^{2 + 1} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$38 z^{3} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $5$ por $38$ .

$190 z^{3} z' - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $5 z^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{z'}{5 z^{2}}$ para o numerador.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$190 z^{3} z' - z' = 1 (5 z^{2})$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $5 z^{2}$ por $1$ .

$190 z^{3} z' - z' = 5 z^{2}$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Fatore $z'$ de $190 z^{3} z' - z'$ .

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Etapa 5.4.1.1

Fatore $z'$ de $190 z^{3} z'$ .

$z' (190 z^{3}) - z' = 5 z^{2}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $z'$ de $- z'$ .

$z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1 = 5 z^{2}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $z'$ de $z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1$ .

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ por $190 z^{3} - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ por $190 z^{3} - 1$ .

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $190 z^{3} - 1$ .

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Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $z'$ por $1$ .

$z' = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Etapa 6

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$