Cálculo Exemplos

$z = x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x}))$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x + c e^{x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + c e^{x}] + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + c e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.2.3

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c e^{x}$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 3.8.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.9

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3.2

Combine $x$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3.7

Some $2$ e $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10.3.8

Combine $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $c$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{x}$

Etapa 3.10.3.9

Combine $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2}$ e $e^{x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Etapa 3.10.3.10

Para escrever $x^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Etapa 3.10.3.11

Combine $x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Etapa 3.10.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Etapa 3.10.3.13

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Etapa 3.10.3.14

Some $2 x^{\frac{3}{2}}$ e $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Etapa 3.10.4

Reordene os termos.

$e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$