Cálculo Exemplos

$y = x y + y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y + y^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x y' + y + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x y' + y + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$x y' + 3 y^{2} y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x y' + 3 y^{2} y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x y' + 3 y^{2} y' + y = y'$

Etapa 5.2

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$x y' + 3 y^{2} y' + y - y' = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $x y' + 3 y^{2} y' - y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) - y' = - y$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ por $x + 3 y^{2} - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ por $x + 3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x + 3 y^{2} - 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$