Cálculo Exemplos

$z = \frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} y - x y^{3}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} y - x y^{3}] - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} y - x y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 \cdot y x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{3}$ em relação a $x$ é $- y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \cdot 1) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.11.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y - x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) + (- 2 (x^{3} y) - 2 (- x y^{3})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Expanda $(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{2} (y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.2.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 2} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{2} (y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.5

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.2.1.5.1

Mova $y$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y \cdot y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.1.5.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y^{1} y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{1 + 2} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{2} y^{3} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.7

Multiplique $y^{2}$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.2.1.7.1

Mova $y^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - (y^{3} y^{2}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{3 + 2} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.7.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Some $- x^{2} y^{3}$ e $3 y^{3} x^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.2.1

Mova $y^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.2

Some $- x^{2} y^{3}$ e $3 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x \cdot x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1} x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1 + 3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{4} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- (x \cdot x) y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- x^{2} y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Subtraia $2 x^{4} y$ de $3 x^{4} y$ .

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + 1 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.4

Some $2 x^{2} y^{3}$ e $2 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Fatore $y$ de $- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $y$ de $- y^{5}$ .

$\frac{y (- y^{4}) + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.2

Fatore $y$ de $x^{4} y$ .

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.3

Fatore $y$ de $4 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.4

Fatore $y$ de $y (- y^{4}) + y x^{4}$ .

$\frac{y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.5

Fatore $y$ de $y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y (- y^{4} + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Fatore $- 1$ de $- y^{4}$ .

$\frac{y (- (y^{4}) + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Fatore $- 1$ de $x^{4}$ .

$\frac{y (- (y^{4}) - 1 (- x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (y^{4}) - 1 (- x^{4})$ .

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Fatore $- 1$ de $4 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Fatore $- 1$ de $- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.11

Reescreva $- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ como $- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y (- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$