Cálculo Exemplos

$z = \frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{y + 3.7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$ .

$\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3.4 x^{4} + 7.1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1}$ por $\frac{1}{y + 3.7}$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3.4 x^{4} + 7.1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Etapa 3.3.3

Como $3.4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3.4 x^{4}$ em relação a $x$ é $3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7.1])$

Etapa 3.3.5

Multiplique $4$ por $3.4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + \frac{d}{d x} [7.1])$

Etapa 3.3.6

Como $7.1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7.1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + 0)$

Etapa 3.3.7

Combine frações.

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Etapa 3.3.7.1

Some $13.6 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3})$

Etapa 3.3.7.2

Combine $13.6$ e $\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ .

$\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} x^{3}$

Etapa 3.3.7.3

Combine $\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ e $x^{3}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Fatore $0.1$ de $3.4 x^{4} + 7.1$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $0.1$ de $3.4 x^{4}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 7.1) (y + 3.7)}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $0.1$ de $7.1$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)) (y + 3.7)}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $0.1$ de $0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Etapa 3.4.2

Fatore $13.6$ de $13.6 x^{3}$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Etapa 3.4.3

Fatore $0.1$ de $0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 ((34 x^{4} + 71) (y + 3.7))}$

Etapa 3.4.4

Separe as frações.

$\frac{13.6}{0.1} \cdot \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Etapa 3.4.5

Divida $13.6$ por $0.1$ .

$136 \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Etapa 3.4.6

Combine $136$ e $\frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$ .

$\frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$