Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sin (3 x^{2})}{\log (\cos (3 x))}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (3 x^{2})$ e $g (x) = \log (\cos (3 x))$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 (2 x)) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 4.2

A derivada de $\log (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)}$ e $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 6.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + 1 \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ por $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 7.2.2

Combine $\sin (3 x)$ e $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 7.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 7.4

Combine $3$ e $\frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 (\sin (3 x) \sin (3 x^{2}))}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot 1}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 7.6

Multiplique $\frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ por $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$ por $\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot \frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 9

Combine.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 10

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $\cos (3 x) \ln (10)$ .

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.1

Simplifique $6 \ln (10)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10^{6}) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 12.1.1.2

Eleve $10$ à potência de $6$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 12.1.2

Reordene os fatores em $\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})$ .

$\frac{x \cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Etapa 12.2

Reordene os termos.

$\frac{x \cos (3 x) \cos (3 x^{2}) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\log^{2} (\cos (3 x)) \cos (3 x) \ln (10)}$