Cálculo Exemplos

$y = - e^{- x} + 7 \log_{3} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- e^{- x} + 7 \log_{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- - e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 2.9

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \log_{3} (x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]$ .

$e^{- x} + 7 \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\log_{3} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$e^{- x} + 7 \frac{1}{x \ln (3)}$

Etapa 3.3

Combine $7$ e $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$e^{- x} + \frac{7}{x \ln (3)}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$\frac{7}{x \ln (3)} + e^{- x}$