Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x} \cos (\sqrt{x})$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (\sqrt{x})]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})] + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9.3

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9.5

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9.6

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9.7

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 14

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 17

Combine $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 18

Simplifique a expressão.

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Etapa 18.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.2

Reordene os termos.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$