Cálculo Exemplos

$y = x^{2} \sqrt{4 x - 3}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x - 3}$ como ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 3$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8.3

Mova ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 12

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 13

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 14.2

Combine $\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 14.3

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 14.4

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 15

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.1

Fatore $2$ de $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 15.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Etapa 17

Mova $2$ para a esquerda de ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 18

Combine $\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$ usando um denominador comum.

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Etapa 18.1

Mova ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 18.2

Para escrever $2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Multiplique ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 19.1

Mova ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{1}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Simplifique $2 x {(4 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Simplifique.

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Etapa 21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 21.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 21.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x \cdot x + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 21.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2.2

Some $2 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3

Fatore $2 x$ de $10 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 21.3.1

Fatore $2 x$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{2 x (5 x) - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 x (5 x) + 2 x (- 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (5 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (5 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$