Cálculo Exemplos

$e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 1

Escreva $e^{4 x} + e^{- x}$ como uma função.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 2.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 2.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Etapa 3.2

Mova $- e^{- x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\ln (4 e^{4 x})$ como $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 3.4.2

Expanda $\ln (e^{4 x})$ movendo $4 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Etapa 3.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Etapa 3.4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Etapa 3.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.5.1

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Etapa 3.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Etapa 3.6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.6.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Etapa 3.6.2

Some $4 x$ e $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Etapa 3.7

Subtraia $\ln (4)$ dos dois lados da equação.

$5 x = - \ln (4)$

Etapa 3.8

Divida cada termo em $5 x = - \ln (4)$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.8.1

Divida cada termo em $5 x = - \ln (4)$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Etapa 3.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.8.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Etapa 3.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Etapa 3.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.27725887$ na expressão.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Etapa 6.2.1.3

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$- 3.56262674$

Etapa 6.4

Em $x = - 1.27725887$ , a derivada é $- 3.56262674$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.72274112$ na expressão.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $4$ por $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Etapa 7.2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

$71.55727104$

Etapa 7.4

Em $x = 0.72274112$ , a derivada é $71.55727104$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Etapa 9