Cálculo Exemplos

$y = x^{3} \cos (8 x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (8 x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (8 x^{2})] + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 8 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x^{2}$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) (2 x)) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2}) x) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) (3 x^{2})$

Etapa 6

Reordene os termos.

$- 16 x^{4} \sin (8 x^{2}) + 3 x^{2} \cos (8 x^{2})$