Cálculo Exemplos

$y = 4 \sin (x) \csc (x^{2})$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (x) \csc (x^{2})$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \csc (x^{2})$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})] + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2

A derivada de $\csc (u)$ em relação a $u$ é $- \csc (u) \cot (u)$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \cos (x))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x)) + 4 (\csc (x^{2}) \cos (x))$

Etapa 6.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 8 \sin (x) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x + 4 \csc (x^{2}) \cos (x)$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$- 8 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Reescreva $\cot (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.2

Multiplique $- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

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Etapa 6.4.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.2.2

Combine $x$ e $\frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 8 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.3

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.5

Reescreva $\csc (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.6

Multiplique $- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Etapa 6.4.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ por $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.6.2

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.6.3

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.6.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.7

Combine $\sin (x)$ e $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x) (8 x \cos (x^{2}))}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.8

Mova $8$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$- \frac{8 \cdot \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Etapa 6.4.9

Reescreva $\csc (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.4.10

Multiplique $4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Etapa 6.4.10.1

Combine $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ e $4$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4}{\sin (x^{2})} \cos (x)$

Etapa 6.4.10.2

Combine $\frac{4}{\sin (x^{2})}$ e $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Fatore $\sin (x^{2})$ de $\sin^{2} (x^{2})$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.2

Separe as frações.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.3

Reescreva $\frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}$ como um produto.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.4

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.5.1

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.5.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ em $\csc (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.6

Separe as frações.

$- (\frac{8 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.7

Converta de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ em $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x}{1} \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.8

Divida $8 x$ por $1$ .

$- (8 x \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.9

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- 8 (x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.10

Separe as frações.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Etapa 6.5.11

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$ como um produto.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Etapa 6.5.12

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Etapa 6.5.13

Simplifique.

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Etapa 6.5.13.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Etapa 6.5.13.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ em $\csc (x^{2})$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \csc (x^{2}))$

Etapa 6.5.14

Divida $4$ por $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$