Cálculo Exemplos

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arccos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Etapa 2

Reescreva $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.2.2

Combine ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 4.2.3

Mova ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Etapa 5.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Etapa 5.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Etapa 5.4.3

Reordene os termos.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Etapa 5.4.4

Reescreva $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.4.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Etapa 5.4.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1 + x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Etapa 5.4.4.3

Simplifique.

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Etapa 5.4.4.3.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Etapa 5.4.4.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Etapa 5.4.4.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Etapa 5.4.5

Reescreva $\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ como ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ .

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Etapa 5.4.5.1

Fatore a potência perfeita $x^{2}$ de $(x^{2} + 2) x^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Etapa 5.4.5.2

Fatore a potência perfeita ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

Etapa 5.4.5.3

Reorganize a fração $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

Etapa 5.4.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Etapa 5.4.7

Combine $\frac{x}{x^{2} + 1}$ e $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Etapa 5.5

Combine ${(1 + x^{2})}^{2}$ e $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Etapa 5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.6.1

Cancele o fator comum de ${(1 + x^{2})}^{2}$ e $x^{2} + 1$ .

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Etapa 5.6.1.1

Reordene os termos.

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Etapa 5.6.1.2

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Etapa 5.6.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.1.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Etapa 5.6.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Etapa 5.6.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

Etapa 5.6.1.3.4

Divida $(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ por $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.6.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.3.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.6

Fatore $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

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Etapa 5.6.6.1

Fatore $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.6.6.2

Fatore $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

Etapa 5.6.6.3

Fatore $x \sqrt{x^{2} + 2}$ de $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Etapa 5.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Etapa 5.8

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.9

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Etapa 5.9.2

Mova $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Etapa 5.9.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + 2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Etapa 5.9.4

Eleve $\sqrt{x^{2} + 2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Etapa 5.9.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.9.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Etapa 5.9.7

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ como $x^{2} + 2$ .

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Etapa 5.9.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.9.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.9.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.9.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.9.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.9.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Etapa 5.9.7.5

Simplifique.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$