Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 4)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + 0)$

Etapa 2.7

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Etapa 3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 3.2.3

Reescreva o polinômio.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Etapa 3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2 x - 4$ por $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 x - 4$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x - 2$ de $2 (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x - 2}$