Cálculo Exemplos

$y = \sin (\sec (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (\sec (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Etapa 3.2

Combine $\cos (\sec (x))$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)$

Etapa 3.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 3.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Etapa 3.4.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Etapa 3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 3.6

Separe as frações.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$

Etapa 3.7

Reescreva $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ como um produto.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.8

Escreva $\cos (\sec (x))$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Divida $\cos (\sec (x))$ por $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.9.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))$

Etapa 3.10

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)$