Cálculo Exemplos

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 9 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $- 12 x^{2}$ de $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 12 x^{2}$ de $- 36 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) + 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $- 12 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $- 12 x^{2}$ de $- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} (- 1)$ .

$- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $4 x^{3} - 9 x^{4}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{1}{3}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$4 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$4 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Etapa 4.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \frac{1}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 (\frac{1}{27}) - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Etapa 4.2.2.1.4

Combine $4$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{4}{27} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Etapa 4.2.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Etapa 4.2.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1}{3^{4}}$

Etapa 4.2.2.1.7

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{4}{27} - 9 (\frac{1}{81})$

Etapa 4.2.2.1.8

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 4.2.2.1.8.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\frac{4}{27} + 9 (- 1) \frac{1}{81}$

Etapa 4.2.2.1.8.2

Fatore $9$ de $81$ .

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{27} - 1 (\frac{1}{9})$

Etapa 4.2.2.1.9

Reescreva $- 1 (\frac{1}{9})$ como $- (\frac{1}{9})$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9}$

Etapa 4.2.2.2

Para escrever $- \frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{27}$

Etapa 4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 3}{27}$

Etapa 4.2.2.5

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{27}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{27})$

Etapa 5