Cálculo Exemplos

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Combine $\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Mova $x^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Etapa 7

Multiplique $\arctan (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3

Combine os termos.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.3

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $x$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 8.3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.4.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.4.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.4.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.4.3.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.4.3.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 8.3.5

Para escrever $\arctan (\frac{1}{x})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$