Cálculo Exemplos

$y = x \sin (\frac{5}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (\frac{5}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{5}{x})] + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{5}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{5}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{5}{x}$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (5 (- x^{- 2}))) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (- 5 x^{- 2})) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{5}{x}) \cdot (- 5)) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{5}{x}) \cdot (- 5)) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Some $- 2$ e $1$ .

$x^{- 1} (\cos (\frac{5}{x}) \cdot (- 5)) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $\cos (\frac{5}{x})$ .

$x^{- 1} (- 5 \cdot \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{- 1} (- 5 \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x}) \cdot 1$

Etapa 8

Multiplique $\sin (\frac{5}{x})$ por $1$ .

$x^{- 1} (- 5 \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- 5 \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x})$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 5}{x} \cos (\frac{5}{x}) + \sin (\frac{5}{x})$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{- 5}{x}$ e $\cos (\frac{5}{x})$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{5}{x})}{x} + \sin (\frac{5}{x})$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 \cos (\frac{5}{x})}{x} + \sin (\frac{5}{x})$