Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$