Cálculo Exemplos

$y = {(3 x - 5)}^{2} {(5 - x^{5})}^{3}$

Etapa 1

Reescreva ${(3 x - 5)}^{2}$ como $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x - 5) (3 x - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 2

Expanda $(3 x - 5) (3 x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 3.2

Subtraia $15 x$ de $- 15 x$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 9 x^{2} - 30 x + 25$ e $g (x) = {(5 - x^{5})}^{3}$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(5 - x^{5})}^{3}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 5 - x^{5}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - x^{5}$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - x^{5}$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) (3 {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Mova $3$ para a esquerda de $9 x^{2} - 30 x + 25$ .

$3 \cdot (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{5}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (5 x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.8

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Etapa 6.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} - 30 x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 6.10

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 6.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 6.12

Multiplique $2$ por $9$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 6.13

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 6.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 6.15

Multiplique $- 30$ por $1$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 6.16

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 + 0)$

Etapa 6.17

Some $18 x - 30$ e $0$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 15 (9 x^{2}) - 15 (- 30 x) - 15 \cdot 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Etapa 7.2

Multiplique $9$ por $- 15$ .

$(- 135 x^{2} - 15 (- 30 x) - 15 \cdot 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Etapa 7.3

Multiplique $- 30$ por $- 15$ .

$(- 135 x^{2} + 450 x - 15 \cdot 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 15$ por $25$ .

$(- 135 x^{2} + 450 x - 375) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Etapa 7.5

Fatore ${(5 - x^{5})}^{2}$ de $(- 135 x^{2} + 450 x - 375) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore ${(5 - x^{5})}^{2}$ de $(- 135 x^{2} + 450 x - 375) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4}$ .

${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Etapa 7.5.2

Fatore ${(5 - x^{5})}^{2}$ de ${(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$ .

${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{2} ((5 - x^{5}) (18 x - 30))$

Etapa 7.5.3

Fatore ${(5 - x^{5})}^{2}$ de ${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{2} ((5 - x^{5}) (18 x - 30))$ .

${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4} + (5 - x^{5}) (18 x - 30))$