Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x - 3$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x + 1) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Multiplique $5$ por $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.12

Combine frações.

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Etapa 3.12.1

Some $5$ e $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.12.3

Combine $\frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{(2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)) \cdot 4}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Etapa 3.12.4

Mova $4$ para a esquerda de $2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{4 (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x)) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5

Combine os termos.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{4 (10 x) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $10$ por $4$ .

$\frac{40 x + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{40 x + 4 \cdot 2 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.5

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 10 x) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.6

Multiplique $- 10$ por $4$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.7

Multiplique $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 \cdot 15}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.8

Multiplique $4$ por $15$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.9

Subtraia $40 x$ de $40 x$ .

$\frac{0 + 8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.10

Some $0$ e $8$ .

$\frac{8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.11

Some $8$ e $60$ .

$\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.12

Multiplique $\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{3}}$

Etapa 4.5.13

Multiplique ${(5 x + 1)}^{2}$ por ${(5 x + 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2 + 3}}$

Etapa 4.5.13.2

Some $2$ e $3$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{5}}$