Cálculo Exemplos

$y = {(2 x - 1)}^{3} {(x + 7)}^{- 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(2 x - 1)}^{3}$ e $g (x) = {(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 3}] + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 7$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \cdot 1) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + 0)$

Etapa 5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.7.1

Some $2$ e $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \cdot 2$

Etapa 5.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6.3

Combine os termos.

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Etapa 6.3.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{{(x + 7)}^{4}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{- 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(2 x - 1)}^{3} (- \frac{3}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6.3.3

Combine ${(2 x - 1)}^{3}$ e $\frac{3}{{(x + 7)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{3} \cdot 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6.3.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6.3.5

Combine $6$ e $\frac{1}{{(x + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 6.3.6

Combine $\frac{6}{{(x + 7)}^{3}}$ e ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$

Etapa 6.3.7

Para escrever $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Etapa 6.3.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(x + 7)}^{4}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.3.8.1

Multiplique $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} (x + 7)}$

Etapa 6.3.8.2

Multiplique ${(x + 7)}^{3}$ por $x + 7$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.8.2.1

Multiplique ${(x + 7)}^{3}$ por $x + 7$ .

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Etapa 6.3.8.2.1.1

Eleve $x + 7$ à potência de $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} {(x + 7)}^{1}}$

Etapa 6.3.8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3 + 1}}$

Etapa 6.3.8.2.2

Some $3$ e $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1

Fatore $3 {(2 x - 1)}^{2}$ de $- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

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Etapa 6.4.1.1

Fatore $3 {(2 x - 1)}^{2}$ de $- 3 {(2 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.1.2

Fatore $3 {(2 x - 1)}^{2}$ de $6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.1.3

Fatore $3 {(2 x - 1)}^{2}$ de $3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1) + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x) - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 2 \cdot 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.6

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.7

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (0 + 1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.8

Some $0$ e $1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.9

Some $1$ e $14$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} \cdot 15}{{(x + 7)}^{4}}$

Etapa 6.4.10

Multiplique $15$ por $3$ .

$\frac{45 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{4}}$