Cálculo Exemplos

$y = (7 \sqrt{x} + 6) x^{2}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ e $g (x) = x^{2}$ .

$(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ .

$2 \cdot (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 8.3

Combine $7$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 8.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Some $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.3.1

Mova $7$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 11

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Etapa 11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Etapa 11.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 11.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 11.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Etapa 11.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 12

Combine $2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x$ e $\frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ usando um denominador comum.

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Etapa 12.1

Mova $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ .

$2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 12.2

Para escrever $2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 12.3

Combine $2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 13

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x (7 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 \cdot 7 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.2.1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 7 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 14.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \cdot 7 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.1.4

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.2

Some $28 x^{\frac{3}{2}}$ e $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{24 x + 35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.3

Fatore $x$ de $24 x + 35 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 14.3.1

Fatore $x$ de $24 x$ .

$\frac{x \cdot 24 + 35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.3.2

Fatore $x$ de $35 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 24 + x (35 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 14.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot 24 + x (35 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (24 + 35 x^{\frac{1}{2}})}{2}$