Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ .

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.2

Combine $\frac{x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x e^{4 x}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.9

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.10

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 2.11

Multiplique $e^{4 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{16}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Etapa 3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

Etapa 3.6

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

Etapa 3.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

Etapa 3.8

Combine $- 4$ e $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

Etapa 3.9

Combine $\frac{- 4}{16}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

Etapa 3.10

Cancele o fator comum de $- 4$ e $16$ .

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Etapa 3.10.1

Fatore $4$ de $- 4 e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

Etapa 3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.10.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

Etapa 3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.2

Combine $4$ e $\frac{x}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{4 x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $x e^{4 x}$ por $1$ .

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.5

Para escrever $x e^{4 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.6

Combine $x e^{4 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.8

Mova $4$ para a esquerda de $x e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.9

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.10

Para escrever $\frac{1}{4} e^{4 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.11

Combine $\frac{1}{4} e^{4 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.13

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.14

Combine $\frac{e^{4 x}}{4}$ e $4$ .

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.15

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.16

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.16.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.16.2

Divida $e^{4 x}$ por $1$ .

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Etapa 4.2.17

Subtraia $e^{4 x}$ de $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

Etapa 4.2.18

Some $4 e^{4 x} x$ e $0$ .

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Etapa 4.2.19

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.19.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Etapa 4.2.19.2

Divida $e^{4 x} x$ por $1$ .

$e^{4 x} x$

Etapa 4.3

Reordene os fatores em $e^{4 x} x$ .

$x e^{4 x}$