Cálculo Exemplos

$y = \frac{5 x}{\log_{5} (x)}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{\log_{5} (x)}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \log_{5} (x)$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\log_{5} (x)$ por $1$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 4

A derivada de $\log_{5} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{1}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{x \ln (5)}$ e $x$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 5.3

Combine $5$ e $\frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$ .

$\frac{5 (\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 \log_{5} (x) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Simplifique $5 \log_{5} (x)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5 (- \frac{1}{\ln (5)})$ .

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - 5 \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 6.2.2.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + \frac{- 5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - \frac{5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$