Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[5]{x} (3 - 9 x)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y = x^{\frac{1}{5}} (3 - 9 x)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}} (3 - 9 x))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 3 - 9 x$ .

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [3 - 9 x] + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{1}{5}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [- 9 x] + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{5}} (- 9 \cdot 1) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.6.1

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{5}} \cdot - 9 + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2.6.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 9 \cdot x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 4.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Etapa 4.6.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Etapa 4.9

Mova $x^{- \frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + 3 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 9 x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2

Combine os termos.

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Etapa 4.10.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 9 x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.2

Combine $- 9$ e $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + x \frac{- 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.3

Combine $x$ e $\frac{- 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{x \cdot - 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.4

Mova $- 9$ para a esquerda de $x$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 \cdot x}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.5

Mova $x^{\frac{4}{5}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x \cdot x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Etapa 4.10.2.6

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{4}{5}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.10.2.6.1

Mova $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 (x^{- \frac{4}{5}} x)}{5}$

Etapa 4.10.2.6.2

Multiplique $x^{- \frac{4}{5}}$ por $x$ .

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Etapa 4.10.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 (x^{- \frac{4}{5}} x^{1})}{5}$

Etapa 4.10.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{- \frac{4}{5} + 1}}{5}$

Etapa 4.10.2.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{- \frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}{5}$

Etapa 4.10.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{\frac{- 4 + 5}{5}}}{5}$

Etapa 4.10.2.6.5

Some $- 4$ e $5$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 4.10.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 4.10.2.8

Para escrever $- 9 x^{\frac{1}{5}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.9

Combine $- 9 x^{\frac{1}{5}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 - 9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.11

Multiplique $5$ por $- 9$ .

$\frac{- 45 x^{\frac{1}{5}} - 9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.12

Subtraia $9 x^{\frac{1}{5}}$ de $- 45 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{- 54 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 4.10.3

Reordene os termos.

$\frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$