Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.2.1

Combine os termos opostos em $1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Subtraia $\sin (x) \cos (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 \cos (x) + 0}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.5.2.1.2

Some $1 \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{1 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$