Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\cos (x - 9)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\cos (x - 9)}$ como ${\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (x - 9)$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x - 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x - 9)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.6.3

Mova ${\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - 9$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 9$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 4.7.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 9$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$

Etapa 4.8

Diferencie.

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Etapa 4.8.1

Combine $\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (x - 9)$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 4.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 4.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 4.8.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Etapa 4.8.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.8.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.8.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9

Simplifique.

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Etapa 4.9.1

Separe as frações.

$- (\frac{\sin (x - 9)}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.9.2

Converta de $\frac{1}{{\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ em ${\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{\sin (x - 9)}{2} {\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.9.3

Combine $\frac{\sin (x - 9)}{2}$ e ${\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x - 9) {\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.9.4

Reordene os fatores em $- \frac{\sin (x - 9) {\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{{\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}} \sin (x - 9)}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{{\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}} \sin (x - 9)}{2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}} \sin (x - 9)}{2}$