Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$ como ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin^{2} (3 x) + x$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.6.2

Combine frações.

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Etapa 4.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.6.2.2

Mova ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Etapa 4.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin^{2} (3 x) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.8.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.9

Diferencie.

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Etapa 4.9.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.9.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.9.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.9.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$

Etapa 4.9.6

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$ .

$(6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) \frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$