Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x - 9$ e $g (x) = 2 x^{2} + 8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [2 x - 9] - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.12.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.12.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 + (- 4 (2 x) - 4 \cdot - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16 + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Reordene os termos.

$\frac{- 4 x^{2} + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} + 36 x + 16$ .

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Etapa 3.3.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.2

Fatore $4$ de $36 x$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.3

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (9 x)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.7.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 8$ .

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Etapa 3.3.7.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.7.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.7.1.3

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot 4$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Etapa 3.3.7.2

Aplique a regra do produto a $2 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{2^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.7.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Fatore $- 1$ de $9 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 9 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.12

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.13

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.14

Reescreva $- (x^{2} - 9 x - 4)$ como $- 1 (x^{2} - 9 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$