Cálculo Exemplos

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\ln (x)}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Etapa 4.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $x^{\ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Etapa 4.2.2

Expanda $\ln (x^{\ln (x)})$ movendo $\ln (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Etapa 4.3

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Etapa 4.4

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Etapa 4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 4.8

Combine $e^{\ln^{2} (x)}$ e $\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 4.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 4.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 4.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 4.10

Combine frações.

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Etapa 4.10.1

Combine $2$ e $\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 4.10.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.11

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 4.12

Multiplique $\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Etapa 4.13

Multiplique $x^{\ln (x)}$ por $x$ .

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Etapa 4.13.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Etapa 4.13.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Etapa 4.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.14.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Etapa 4.14.2

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Etapa 4.14.3

Reordene os fatores em $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$