Cálculo Exemplos

$y = \ln (\arctan (2 x^{3}))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\arctan (2 x^{3})))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \arctan (2 x^{3})$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\arctan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.3.2

Combine frações.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 (x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{6}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{1 + 4 x^{6}}$ por $\frac{1}{\arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (3 x^{2})$

Etapa 3.3.6

Combine frações.

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Etapa 3.3.6.1

Combine $3$ e $\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Etapa 3.3.6.3

Combine $\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{2}}{1 \arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\arctan (2 x^{3})$ por $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$\frac{6 x^{2}}{4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})}$

Etapa 3.4.4

Fatore $\arctan (2 x^{3})$ de $4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})$ .

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Etapa 3.4.4.1

Fatore $\arctan (2 x^{3})$ de $4 x^{6} \arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3})}$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1}$

Etapa 3.4.4.3

Fatore $\arctan (2 x^{3})$ de $\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$