Cálculo Exemplos

$z = 2 x - 3 x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (2 x - 3 x y)$

Etapa 2

Como $z$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $z$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x y$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 - 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 - 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 - 3 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 - 3 (x y' + y)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 3 (x y') - 3 y$

Etapa 3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 - 3 x y' - 3 y$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$- 3 x y' - 3 y + 2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$0 = - 3 x y' - 3 y + 2$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- 3 x y' - 3 y + 2 = 0$ .

$- 3 x y' - 3 y + 2 = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$- 3 x y' + 2 = 3 y$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 3 x y' = 3 y - 2$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 3 x y' = 3 y - 2$ por $- 3 x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 3 x y' = 3 y - 2$ por $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ e $- 3$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $3$ de $3 y$ .

$y' = \frac{3 (y)}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (y)}{3 (- x)} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 y}{3 (- x)} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Etapa 5.3.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{3 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{2}{3 x}$