Cálculo Exemplos

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Etapa 2

Mova ${(1 - t)}^{- 2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 2}$ e $g (t) = 1 - t$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Etapa 4

Multiplique ${(1 - t)}^{2}$ por ${(1 - t)}^{- 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova ${(1 - t)}^{- 3}$ .

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Etapa 4.3

Some $- 3$ e $2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Etapa 5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Etapa 6

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Etapa 7

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 - t)}^{- 1}$ .

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{1 - t}$

Etapa 12.2

Combine $2$ e $\frac{1}{1 - t}$ .

$\frac{2}{1 - t}$