Cálculo Exemplos

$y = (1 + x - x^{2}) e^{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 + x - x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(1 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - (2 x))$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Etapa 4.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Etapa 4.3.3

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Etapa 4.3.4

Some $x e^{x}$ e $e^{x} (- 2 x)$ .

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Etapa 4.3.4.1

Mova $e^{x}$ .

$x e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4.3.4.2

Subtraia $2 x e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$