Cálculo Exemplos

$y = (x^{3} + 2 x - 7) (3 + x - x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3} + 2 x - 7$ e $g (x) = 3 + x - x^{2}$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [3 + x - x^{2}] + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - (2 x)) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 2 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.13

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + 0)$

Etapa 2.14

Some $3 x^{2} + 2$ e $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $1$ de $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1$ de $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.1.2

Fatore $1$ de $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

Etapa 3.1.3

Fatore $1$ de $1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

Etapa 3.2

Multiplique $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ por $1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$1 x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$x^{3} + 2 x + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{3 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.4.3

Some $3$ e $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.2.6.1

Mova $x$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.2.8

Multiplique $- 7$ por $- 2$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.3

Some $2 x$ e $14 x$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Etapa 3.4.4

Expanda $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.4

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.4.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{2 + 1} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.4.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 \cdot x - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.7.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.7.3

Some $2$ e $2$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

Etapa 3.4.5.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - 2 x^{2}$

Etapa 3.4.6

Subtraia $2 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4}$

Etapa 3.5

Some $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 2 x - 3 x^{4}$

Etapa 3.6

Some $- 7$ e $6$ .

$4 x^{3} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x - 3 x^{4}$

Etapa 3.7

Subtraia $3 x^{4}$ de $- 2 x^{4}$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x$

Etapa 3.8

Some $- 4 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 16 x - 1 + 2 x$

Etapa 3.9

Some $16 x$ e $2 x$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 18 x - 1$