Cálculo Exemplos

$y = (\sqrt{x} + 1) e^{- 2 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 4.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 9.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Para escrever $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Combine $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x}) x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.4.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.4.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{1} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4.2

Simplifique $- 4 x^{1} e^{- 2 x}$ .

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.5

Reordene os termos.

$\frac{- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.6

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}$ .

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Etapa 16.6.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 4 e^{- 2 x} x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.6.2

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.6.3

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.6.4

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.6.5

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.7

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.8

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.9

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.10

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.11

Fatore $- 1$ de $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.12

Reescreva $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ como $- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- 2 x} (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$