Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 3.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 3.1.1.2.2

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $2$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 3.1.1.2.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $2$ removido.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 3.1.1.2.2.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 3.1.1.2.3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.1.2.3.1

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 3.1.1.2.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.1.2.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 3.1.1.2.3.2.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 3.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 3.1.1.3.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 3.1.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Etapa 3.1.1.3.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.1.3.5

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Etapa 3.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Etapa 3.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{x} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Etapa 3.1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Etapa 3.1.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Etapa 3.1.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Etapa 3.1.3.5

Some $2 e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Etapa 3.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 3.1.3.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 3.1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

Etapa 3.1.3.9

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 3.1.4.2

Divida $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 4.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 4.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 4.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 4.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 4.3

Avalie o limite.

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Etapa 4.3.1

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Etapa 4.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 4.4

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 4.5

Avalie o limite.

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Etapa 4.5.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.5.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

Etapa 4.5.2.1.3

Subtraia $6$ de $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

Etapa 4.5.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

Etapa 4.5.2.3

Divida $- 6$ por $1$ .

$- 6$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 2, - 6$

Etapa 6

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 2, - 6$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 8