Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ é indefinida.

$x = \ln (9)$

Etapa 2

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Etapa 2.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Etapa 2.2.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Etapa 2.2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 2.2.1.3.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 2.2.1.3.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.1

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 9}$

Etapa 2.2.1.3.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.1.3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 9}$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.3.3.2.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.3.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.3.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Etapa 2.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Etapa 2.2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 2.2.3.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Etapa 2.2.3.6

Some $e^{x}$ e $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$2 lim_{x \to \infty} 1$

Etapa 2.3

Avalie o limite.

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Etapa 2.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Etapa 3.1.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Etapa 3.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 9}$

Etapa 3.4

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} 9}$

Etapa 3.5

Avalie o limite.

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Etapa 3.5.1

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $0 - 1 \cdot 9$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.5.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 9$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 (9)}$

Etapa 3.5.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (0) - 1 (9)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 9)}$

Etapa 3.5.2.1.4

Fatore $9$ de $0$ .

$2 \frac{9 (0)}{- 1 (0 + 9)}$

Etapa 3.5.2.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.1.5.1

Fatore $9$ de $- 1 (0 + 9)$ .

$2 \frac{9 (0)}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Etapa 3.5.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{9 \cdot 0}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Etapa 3.5.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

Etapa 3.5.2.2

Some $0$ e $1$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{0}{- 1})$

Etapa 3.5.2.4

Divida $0$ por $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Etapa 3.5.2.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 2, 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = \ln (9)$

Assíntotas horizontais: $y = 2, 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7