Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$ é indefinida.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6^{2}}{2 x + 5}$

Etapa 5.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$\frac{(x + 6) (x - 6)}{2 x + 5}$

Etapa 5.2

Expanda $(x + 6) (x - 6)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 6) + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.4

Reordene $x$ e $- 6$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $6$ por $- 6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x - 36}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.10

Some $- 6 x$ e $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 36}{2 x + 5}$

Etapa 5.2.11

Subtraia $36$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$36$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{5 x}{2}$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + \frac{5 x}{2}$ .

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- \frac{5 x}{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- \frac{5 x}{2} - \frac{25}{4}$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$
							-	$\frac{119}{4}$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{2} - \frac{5}{4} - \frac{119}{4 (2 x + 5)}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{5}{2}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 7