Cálculo Exemplos

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{3 + 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Etapa 3.6.1.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2 + 0}}$

Etapa 3.6.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.6.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.6.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.6.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.6.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.6.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Etapa 4.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{3 + 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Etapa 4.6.1.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2 + 0}}$

Etapa 4.6.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2}}$

Etapa 4.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.6.4

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 4.6.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.5.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 4.6.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 4.6.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 4.6.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.6.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.6.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 4.6.5.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 8