Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $1 - e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $1 - e^{x}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 + e^{x} = y (1 - e^{x})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $y (1 - e^{x})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + e^{x} = y \cdot 1 + y (- e^{x})$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 + e^{x} = y + y (- e^{x})$

Etapa 3.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 + e^{x} = y - y e^{x}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Some $y e^{x}$ aos dois lados da equação.

$1 + e^{x} + y e^{x} = y$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$e^{x} + y e^{x} = y - 1$

Etapa 4.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} + y e^{x}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique por $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + y e^{x} = y - 1$

Etapa 4.3.2

Fatore $e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} y = y - 1$

Etapa 4.3.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} y$ .

$e^{x} (1 + y) = y - 1$

Etapa 4.4

Divida cada termo em $e^{x} (1 + y) = y - 1$ por $1 + y$ e simplifique.

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Etapa 4.4.1

Divida cada termo em $e^{x} (1 + y) = y - 1$ por $1 + y$ .

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

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Etapa 4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Etapa 4.4.2.1.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Etapa 4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x} = \frac{y - 1}{1 + y}$

Etapa 4.5

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Etapa 4.6

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Etapa 4.6.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Etapa 4.6.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$